Question

Fie un triunghi oarecare ABC si punctele M, N picioarele inaltimilor duse din B si C.
Demonstrati cã:
a) Punctele B. C. M. N sunt conciclice:
b) Mediatoarea segmentului [MN] trece prin mijlocul segmentului [BC]. pliz repede

Answer 1

Explicație pas cu pas:

BM⊥AC, M∈AC, CN⊥AB, N∈AB

a)

ΔBNC este triunghi dreptunghic => ipotenuza BC este diametrul cercului circumscris triunghiului BNC

ΔBMC este triunghi dreptunghic => ipotenuza BC este diametrul cercului circumscris triunghiului BMC

=> ΔBNC și ΔBMC sunt înscrise în același cerc, de diametru BC => punctele B, C, M, N sunt conciclice

b)

notăm cu O mijlocul segmentului BC => O este centrul cercului în care sunt înscrise ΔBNC și ΔBMC

ON ≡ OM (raze în cerc) => ΔOMN este isoscel

notăm cu P mijlocul segmentului MN

=> OP este înălțime și mediană în triunghiul isoscel => OP este mediatoarea segmentului MN

$q.e.d.$