Question

Fie unghiul xOycu bisectoarea [Oz pe care se ia punctul M prin care se duc dreptele AD și BC ( B,D € Ox și A,C € Oy) astfel incat [OA]=[OB]. Demonstrati că: a) [DB]=[AC] b) ∆MBD=∆MAC

Answer 1

Ai imaginea atasata mai jos
ne uitam la triunghiurile OAM si OBM. Stim ca: OA=OB, OM latura comuna
$\angle{AOM}=\angle{BOM}=\frac{1}{2}\angle{O}$ din moment ce OM este bisectoarea unghiului. Atunci avem un caz de congruenta intre cele 2 triunghiuri de tip LUL(latura,unghi,latura) de unde rezulta ca si unghiurile opuse laturilor OA,OB sunt congruente adica
$\angle{OMB}=\angle{OMA}$
si laturile ramase vor fi congruente
$AM=BM$
Ne uitam acum la unghiurile  OMD si OMC
$\angle{OMD}=\angle{OMB}+\angle{BMD}$
$\angle{OMC}=\angle{OMA}+\angle{AMC}$
Dar stim ca AD si BC se intersecteaza in M, atunci unghiurile opuse la varf vor fi egale
$\angle{BMD}=\angle{AMC}$
Din ultimele 3 relatii, rezulta ca
$\angle{OMD}=\angle{OMC}$(1)
OM bisecoarea unghiului O si C si D sunt la randul lor pe semidrepte
$\angle{DOM}=\angle{COM}=\frac{1}{2}\angle{O}$(2)
OM latura comuna(3). Din 1,2,3 rezulta ca si triunghiurile OMD si OMC sunt congruente cu un caz ULU(unghi,latura,unghi). Atunci laturile opuse unghiurilor congruente OMD si OMC, deci OC=OD
Uitandu-nse la segmentele de pe OC si OD
$OC=OA+AC=OD=OB+DB=OA+DB\Rightarrow AC=DB$
De asemenea, si laturile opuse unghiurilor egale din bisectoare vor fi egale adica MC=MD
Deci avem: MC=MD,AM=BM si BD=AC, rezulta atunci ca MBD si MAC sunt triunghiuri congruente cazul LLL(latura,latura,latura)