Question

Fie VABCD o piramida patrulatera regulata in care AB = 2cm iar VA = 2√2. Calculati :
a) volumul piramidei
b) distanta de la centrul bazei la planul (VBC)
c) masura unghiului format de o muchie laterala cu planul bazei .

Answer 1

a)
AC=√(2²+2²)=2√2
AO=2√2/2=√2
VO=√(2√)²-(√2)²=√(8-2)=√6
 V=2x2x√6/3=4√6/3

b)
apotema=√(2√2)²-1²=√7
OF distanta de la O la planul (VBC)  este inaltimea triunghiului VOE format din apotema piramidei VE , apotema bazei OE si inaltimea VO
OF²=VExEF
VE+EF=√7 ⇒ VE=√7-EF
OF²=(√7-EF)_xEF=EF√7-EF²
OF²=OF²-EF²=1-EF²
EF√7-EF²=1-EF²
EF=1/√7
VE=√7-1/√7=6/√7
OF²=6/√7 ×1/√7=6/7
OF=√6/√7=√42/7

c) AC=√(2²+2²)=2√2
VA=VC=AC=2√2
triunghiul VAC echilateral ⇒ m(< VCA)=m(<VAC) = 180⁰ :3=60⁰

Answer 2

AC este diagonala patratului, deci AB=2√2 cm=VA⇒ΔVAC echilateral⇒
⇒m(<VAC)=60 grade (gata punctul c)  )
h=VO este inaltime in triunghiul echilateral VAC, deci
$h=\dfrac{AC\sqrt3}{2}=\sqrt6\ cm.$

$V_{piramidei}=\dfrac{A_b\cdot h}{3}=\dfrac{4\sqrt6}{3}\ cm^3$ (gata punctul a))
Fie M mijlocul segmentului [BC]

$BC\bot(MOV)$ deoarece este perpendivulara pe doua drepte concurente din acest plan, si anume, dreptele OM si VM     (1)

$BC\subset(VBC)$    (2)

Din (1) si (2) ⇒$(MOV)\bot(VBC)\Rightarrow P=pr_{(VBC)}O\in VM\Rightarrow$

$\Rightarrow OP=d(P,(VBC))$

Cu teorema lui Pitagora se obtine usor $VM=\sqrt7\ cm$

OP este inaltime in ΔMOV, deci

$OP=\dfrac{VO\cdot OM}{VM}=\dfrac{\sqrt6}{\sqrt7}=\dfrac{\sqrt{42}}{7}\ cm.$  (gata si punctul b))