Question

Fie VABCD o piramida patrulatera. Sa se determine măsură unchiului făcut de (VBC) și (VAC)

Answer 1

Duci inaltimea h a piramidei patrulatere din V pe planul ABCD. Notezi baza inaltimei cu punctul O si atunci o sa ai inaltimea VO. In piramida patrulatera, O se afla la intersectia diagonalelor patratului, deci stii ca O se afla la mijlocul diagonalei AC.
Noteaza cu P mijlocul laturii BC si acum uneste V cu P. Acum, mai stii ca VO este perpendicular pe planul (ABCD), OP este o linie in planul (ABCD) deci VO este perpendicular pe OP, atunci $\angle{VOP}=90$ triunghiul VOP este dreptunghic cu VO so OP catete. mai stii ca O este mijlocul lui AC si P este mijlocul lui BC, atunci OP este linie mijlocie in triunghiul ABC, paralela cu AB. Din teorema liniei mijlocii$OP=\frac{AB}{2}=\frac{l}{2}$ unde l este latimea patratului. VP este ipotenuza Folosind teorema lui Pitagora$(VP)^{2}=(VO)^{2}+(OP)^{2}=h^{2}+(\frac{l}{2})^2=h^{2}+\frac{l^{2}}{4}$Observam ca VP este mediana in triunghiul VBC, dar VBC este triunghi isoscel cu VB=VC fiind muchii ale piramidei regulate, atunci VP va fi si inaltime,Ducem inaltimea din B pe latura VC si o notam cu E. Atunci stiind ca:$A_{\delta}=\frac{h*b}{2}$ Putem vedea urmatoarea relatie$A_{VBC}=\frac{VP*BC}{2}=\frac{BE*VC}{2}\Rightarrow BE=\frac{VP*BC}{VC}=\frac{l*\sqrt{h^{2}+\frac{l^{2}}{4}}}{VC}$ Acum ducem si inaltimea din O pe latura VC si o notam cu M. OC este parte din planul ABCD, deci VO este perpendicular pe OC, atunci VOC triunghi dreptunghic cu $\angle{VOC}=90$ catetele sunt VO si OC, VC este ipotenuza. si atunci daca OM este inaltimea triunghiului si stiind ca pentru un triunghi dreptunghic$A_{drept}=\frac{cateta1*cateta2}{2}$Putem scrie aria triunghiului dreptunghic in doua feluri$A_{VOC}=\frac{VO*OC}{2}=\frac{OM*VC}{2}\Rightarrow OM=\frac{h*\frac{l\sqrt{2}}{2}}{VC}$Acum unim punctul M cu D si ne uitam putin la triunghiul BMD. Observam mai intai ca triunghiul OMB este congruent cu triunghiul OMD: latura comuna OM $OC=OD=\frac{l\sqrt{2}}{2}$ si unghiurile dintre aceste drepte sunt egale prin simetrie, atunci din congruenta, rezulta ca MB=MD, atunci triunghiul OMD este isoscel. MO este mediana (O se afla la mijlocul lui BD) de unde rezulta ca MO este si inaltime, deci MOB triunghi dreptunghic$\angle{MOB}=90$ catetele sunt OM si OB, ipotenuza este BMCalculam cat este ipotenuza BM cu teorema lui Pitagora:$(BM)^2=(OM)^2+(OB)^2=\frac{h^{2}l^{2}}{2(VC)^{2}}+\frac{l^{2}}{2}=\frac{l^{2}}{2}(1+\frac{h^{2}}{(VC)^{2}}=\frac{l^{2}}{2}(\frac{h^{2}+(VC)^{2}}{(VC)^{2}})$ Dar stim ca VOC este dreptunghic cu ipotenuza VC, din nou cu teorema lui Pitagora$(VC)^{2}=(VO)^{2}+(OC)^{2}=h^{2}+\frac{l^{2}}{2}$atunci inlocuind pe VC la patrat in formula pentru BM$(BM)^2=\frac{l^{2}}{2}(\frac{h^{2}+h^{2}+\frac{l^{2}}{2}}{(VC)^{2}})=\frac{l^{2}(h^{2}+\frac{l^{2}}{4})}{(VC)^{2}}\Rightarrow BM=\frac{l*\sqrt{h^{2}+\frac{l^{2}}{4}}}{VC}=BE$Deci ajungem la concluzia ca BM=BE. Dar E,M apartin ambele muchiei VC, deci inseamna ca sunt de fapt acelasi punct M=E il notam cu M de acum inainte
Atunci stim ca: OM perpendicular VC, BM perpendicular pe VC, OM apartine planului VOC, BM apartine planului VAC, si VC este latura comuna intre planurile(VAC,VOC) deci unghiul dintre planuri este $BMO$
Stim deja ca OM perpendicular pe OB(inaltime in BMD aflaram relatia inainte), atunci din nou folosim tangenta$tgBMO=\frac{OB}{OM}\Rightarrow \angle{BMO}=arctg\frac{OB}{OM}$ unde OB si OM au fost aflate mai sus