Question

Fie x=abcd+bcda
a) Aratati ca x este divizibil cu 11,oricare ar fi abcd.
b) Cate numere de forma abcd exista astfel incat x sa fie divizibil cu 7?

Answer 1

a)  x = 1000a+100b+10c+d = 1000b +100c + 10d+a = 1001a +1100b+110c +11d =
= 11(91a +100b +10c+d) = divizibil cu 11
b)  11(91a + bcd )= 11·7·13a +11· bcd
deoarece 11·7·13a = divizibil cu 7 pentru orice valoare a lui a ⇒
⇒ a ∈{1,2,3,4,5,6,7,8,9}    9 VARIANTE  ⇒ 11bcd trebuie sa fie divizibil cu 7 ⇒
⇒ bcd divizibil cu 7
bcd = nr. de 3 cifre
-- cel mai mic nr. de 3 cifre =100 = 14·7+2 ] adunam 5 ⇒ 105 =7×15 = cea mai mica valoare a lui bcd    b=1; c=0; d=5
-- cel mai mare nr de 3 cifre =999 = 7·142 +5 ] scadem 5 ⇒ 994 = 7×142 = cea mai mare valoare a lui bcd  b=9; c=9; d=4
-- intre 105 si 994, sirul de numere care indeplinesc conditiile problemei este:  (105+0·7); (105+1·7); (105+2·7);..........(105+127·7)  ⇒ 128  VARIANTE
Total:9·128 = 1152 NUMERE