Question

Fie x=abcd+dcba                                                                                                                        a)aratati ca x este divizibil cu 11,oricare ar fi abcd                                                                    b)cate numere de forma abcd exista,astfel incat x sa fie divizibil cu 7

Answer 1

a) x = 1000a + 100b + 10c + d + 1000d + 100c + 10b + a 
     x = 1001a + 110b + 110c + 1001d
     x = 11 ( 91a + 10b + 10c + 91d ) => x divizibil cu 11, oricare ar fi abcd
b) x = 1001a + 1001d + 110b + 110c = 1001·(a+d) + 110·(b+c)
     x = 7·143·(a+d) + 110·(b+c)
        Pentru ca x sa fie divizibil cu 7 trebuie ca si 110(b+c) sa die divizibil cu 7 ( pentru ca 7·143·(a+d) este divizibil cu 7, oricare ar fi a,d )
     110(b+c) divizibil cu 7 <=> b+c divizibil cu 7 =>
            (b,c) ∈ { (0;7); (1;6); (2;5); (3;4) (4; 3); (5; 2); (6;1); (7;0) } => 8 perechi (b;c)
      Pentru ca a si d pot fi oricare dintre cifre, in afara de 0, atunci:
           a ∈ { 1;2;3;...;9 }
           d ∈ { 1;2;3;...;9 }  => exista 9·9 = 81 de perechi (a;d)
                   81·8 = 648 de numere de forma abcd