Question

fie (x_n)n>=0 cu x_1=1 si x_n+1=radical din(2+x_n). arati ca sirul x_n este monoton si marginit si calculati limita sa.

Answer 1

Se demonstreaza prin inductie ca  1≤ x_n < 2 ∀ n ∈ N* ,deci sirul este marginit.

Pentru monotonie procedam astfel:

$x_{n+1}-x_n= \sqrt{2+x_n}-x_n=   \dfrac{2+x_n-x_n^2}{\sqrt{2+x_n}+x_n^2}\\\text{Numaratorul se poate descompune mai departe:}\\-x_n^2+x_n+2=-x_n^2-x_n+2\cdot x_n+2=-x_n(x_n+1)+2(x_n+1)=\\=(x_n+1)(2-x_n)\\\text{Prin urmare: } x_n+1 -x_n= \dfrac{(x_n+1)(2-x_n)}{\sqrt{2+x_n}+x_n^2} \geqslant 0,\text{deci sirul este }\\ \text{crescator.Cum }x_n \text{ este si marginit de 2 rezulta din teorema lui Weierstrass}\\\text{ca este convergent.Notam cu L limita sa.Prin trecere la limita in relatia de}$

$\text{recurenta obtinem:}\\L=\sqrt{2+L}|()^2\\L^2=2+L\\L^2-L-2=0\\(L-2)(L+1)=0\\L=-1 \text{ nu convine, deci ramane L=2.Asadar limita sirului este 2.}$