Question

Fie x ∈ R , astfel incat x²+x si x³+2x sa fie rationale. Aratati ca x este rational .

Answer 1

x²+x si x³+2x ∈ Q ⇒m,k∈Q astfel incat x²+x=m si x³+2x=k
k=x³+2x⇒k=x³+x²-x²-x+3x
k=x(x²+x)-(x²+x_+3x
k=xm-m+3x
x(m+3)=m+k
Sa presupunem ca m+3=0 ⇒ x²+x+3=0
4x²+4x+12=0 
(2x+1)²+11=0 ceea ce este imposibil pentru oricare x ∈Q
Deci m+3≠0 , asadar x = (m+k)/(m+3) ∈ Q deoarece m,k∈Q