Question

Fie x,y apartin lui R si E(x,y)=radical din x^2-2x+5+ radical din y^2+6y+10. Aratati ca E(x,y)>=3 oricare x,y apartin lui R

P,S= totul e sub radical
^la putere

Answer 1

Din ce ai scris tu inteleg ca expresia este

$E(x,y)= \sqrt{x^2-2x+5}+ \sqrt{y^2+6x+10}$

Vom forma patrate de forma
$(a+b)^2=a^2+2ab+b^2$
si
$(a-b)^2=a^2-2ab+b^2$

Adica in expresie il vom scrie pe 5 ca fiind 1+4 si pe 10 ca fiind 9+1, motivul il vei vedea imediat:

$E(x,y)= \sqrt{x^2-2x+1+4} + \sqrt{y^2+6y+9+1}$

Vom restrange patratele respective astfel:

$E(x,y)= \sqrt{(x-1)^2+4}+ \sqrt{(y+3)^2+1}$

Stim ca un patrat este mai mare sau egal cu 0, adica
$(x-1)^2 \geq 0 \\ (y+3)^2 \geq 0$
Asa ca vom lua valorile minime pentru aceste patrate, adica 0, pentru a vedea ce se inatmpla in acest caz. Expresia devine
$E= \sqrt{4}+ \sqrt{1}=2+1=3$
Aceasta este valoarea minima a expresiei, si se atinge cand x=1 si y=-3. Pentru orice alte valori ale lui x si y, expresia va fi strict mai maire decat 3.

Answer 2

rad( x² -2x  + 5 ) = rad( x² -2x + 1 + 4 ) = rad[ ( x -1) ² + 4 ] 
rad(y² + 6y + 9 + 1 ) =                         rad  [ ( y + 3 ) ²  + 1 ] 
------------------------------------------------------------------------------------------
 daca  x =1   si y = -3                 E ( x ,y ) = are cea mai mica val = 
                                                  = √ 4  + √1 = 2 +1 = 3 
in rest  E = patrate = numere pozitive 
E ( x , y) ≥  3