Question

Fie x,y nr reale pozitive astfel incat x+y=1 Demonstreaza ca:$x^{4}$+$y^{4}$$\geq$$\frac{1}{8}$ 15 puncte pentru raspuns rapid!

Answer 1

Salut,

(x -- y)² ≥ 0, sau x² -- 2xy + y² ≥ 0, deci x² + y² ≥ 2xy | (x² + y²), deci:

2(x² + y²) ≥ (x + y)² (1), sau 2(x² + y²) ≥ 1², deci x² + y² ≥ 1/2.

În inegalitatea (1), înlocuim pe x cu x² (sau repetăm toată povestea de mai sus pentru x² și y²), deci avem că:

2(x⁴ + y⁴) ≥ (x² + y²)² ≥ (1/2)² = 1/4, deci x⁴ + y⁴ ≥ 1/8, ceea ce trebuia demonstrat.

Green eyes.