Question

Fie x,y numere reale pozitive astfel incat xy=1. Sa se demonstreze ca :
$(1+x)(1+y) \geq 4$

Answer 1

[tex]xy=1\Rightarrow x=\frac{1}{y}\ \textgreater \ 0\\ (1+x)(1+y)=(1+x)(1+\frac{1}{x})=1+x+\frac{1}{x}+x\cdot\frac{1}{x}=\\ 2+(x+\frac{1}{x})\geq2+2\sqrt{x\cdot\frac{1}{x}}=2+2\cdot1=4\ qed.\\ $Am folosit ca: $x+\frac{1}{x}\geq2\sqrt{x\cdot\frac{1}{x}},\\ $care rezulta din inegalitatea mediilor, pentru orice$x\ \textgreater \ 0.[/tex]