Question

Fie x,y numere reale pozitive astfel incat xy=1.Sa se demonstreze ca:
(1+x)(1+y)>sau=4

Answer 1

Ne folosim de inegalitatea mediilor (aritmetica,geometrica,armonica), a 2 numere.
ma ≥mg≥mh
Daca numerele sunt a si b :
⇒ (a+b) / 2 ≥ √ab ≥ 2ab / (a+b)

Daca numerele sunt 1 si x, avem urmatoarele relatii :
(1+x) / 2 ≥√x ≥ 2x / (1+x)
Daca numerele sunt 1 si y, avem urmatoarele relatii :
(1+y) /2 ≥√y ≥ 2y / (1+y)

⇒ (1+x) /2 ≥√x ⇒(1+x)≥ 2√x
si  (1+y)/2 ≥√y ⇒(1+y) ≥2√y

inmultim cele 2 inegalitati :
⇒ (1+x)(1+y) ≥4√xy
cum  xy = 1 (din enunt)
⇒ (1+x)(1+y) ≥4