Question

Fie x,y numere reale pozitive astfel încât xy=1 . Să se demonstreze că: (1+x)(1+y)>4

Answer 1

$(1+x)(1+y)\ \textgreater \ 4$
$1+x+y+xy\ \textgreater \ 4$
$1+x+y+1\ \textgreater \ 4$
$2+x+y\ \textgreater \ 4$
$x+y\ \textgreater \ 2$

deoarece xy=1, de unde si √xy=1, putem scrie inegalitatea ca:

$x+y\ \textgreater \ 2 \sqrt{xy}$

$\frac{x+y}{2}\ \textgreater \ \sqrt{xy}$ Inegalitatea mediilor