Question

Fie x, y si z numere naturale astefel incat x * y = 120
si y * z = 180. Numarul de valori distincte ale sumei x + y + z este egal cu:

Answer 1

Explicație pas cu pas:

x, y, z ∈ ℕ*

$xy = 120 \implies x = \dfrac{120}{y}$

$yz = 180 \implies z = \dfrac{180}{y}$

$x + y + z = \dfrac{120}{y} + y + \dfrac{180}{y} \in \mathbb{N}$

$\implies y \in D_{120} \cap D_{180}$

$120 = 2^{3} \cdot \ 3 \cdot 5$

$180 = 2^{2} \cdot \ 3^{2} \cdot 5$

divizorii comuni sunt toți divizorii celui mai mare divizor comun

$c.m.m.d.c.(120;180) = 2^{2} \cdot \ 3 \cdot 5$

$(2+1)(1+1)(1+1) = 3 \cdot \ 2 \cdot 2 = 12$

=> sunt 12 divizori => numărul de valori ale sumei x + y + z este egal cu 12

verificăm valorile:

y = 1 => S = 300+1 = 301

y = 2 => S = 150+2 = 152

y = 3 => S = 100+3 = 103

y = 4 => S = 75+4 = 79

y = 5 => S = 60+5 = 65

y = 6 => S = 50+6 = 56

y = 10 => S = 30+10 = 40

y = 12 => S = 25+12 = 37

y = 15 => S = 20+15 = 35

y = 20 => S = 20+20 = 40

y = 30 => S = 10+30 = 40

y = 60 => S = 5+60 = 65

=> Numărul de valori distincte ale sumei x + y + z este egal cu 9