Question

Fie x, y și z numere naturale pentru care 4x + 47y – 43z = 0
Arătaţi că 2021 | (x + y)(x + 2).
| inseamna divide. iar 4x, 47y, 43z NU sunt numere in baza 10. ci înmulțiri
va rog ajutați-mă! mulțumesc ​

Answer 1

Răspuns:

- este (x+y)(x+z), nu 2

- enuntul NU e corect decat daca avem conditia suplimentara y - nenul (strict pozitiv deci)

ex: x=86,y=0,z=2: 4x+47y-43z=0,

(x+y)(x+z)=86×90=7740=> 2021 nu divide (x+y)(x+z)

Explicație pas cu pas:

4x+47y-43z=0 (a|b, a|c => a | (b+/-c) )

partea 1: 43z-4x=47y => y=0 SAU

47 | (43z-4x) => 47 | (43z-4x+47x) => 47| (43x+43z), deci 47| 43(x+z), dar 43 si 47 sunt coprime, deci 47 | (x+z) (A)

(daca y=0, am tratat mai sus, presupunem ca sunt nr nenule)

partea a 2-a:

4x+47y=43z, deci z=0 SAU 43|(4x+47y)

cazul z=0 duce doar la solutia banala x=y=0, care verifica 2021 (x+y)(x+z)

43 |(4x+4y+43y) => 43| 4(x+y), dar 43 si 4 coprime, deci 43|(x+y) (B)

din (A) si (B), si 43 si 47 sunt coprime, rezulta ca (43x47) 2021 | (x+y)(x+z)

Answer 2

$\displaystyle\bf\\4x+47y-43z=0.~x,y,z \in\mathbb{N}.\\daca~2021~\big |~(x+y)(x+z),~atunci~43\cdot47\big|(x+y)(x+z),~2021=43\cdot47.\\4x+47y-43z=0 \Leftrightarrow 4x+47y=43z~\big |~+43x \implies\\47x+47y=43z+43x \Leftrightarrow 47(x+y)=43(x+z),~cum~numerele~\\43~si~47~sunt~relativ~prime~intre~ele~atunci~43\big|x+y~si~47\big|x+z,~atunci\\si~43\cdot47\big|(x+y)(x+z) \Leftrightarrow 2021\big|(x+y)(x+z),~ceea~ce~aveam~de~demonstrat.$