Question

Fie x, y, z ∈ N astfel încât x² + y² = z²

Aratati ca 3 divide xy.

Va rog frumos un pic de ajutor... , multumesc​

Answer 1

Răspuns:

Explicație pas cu pas:

Folosim operatiunea ≡ (mod 3)

Toate patratele perfecte sunt ≡ 0 sau ≡ 1 (mod 3):

(3k)²=9k² ≡ 0 (mod 3)

(3k+1)² ≡ 1 (mod 3)

(3k+2) ≡ 1 (mod 3)

a) daca z²≡ 0 (mod 3), atunci x²≡ 0 (mod 3) si y²≡ 0 (mod 3), deci 3 | (xy)

b) daca z²≡ 1 (mod 3), atunci trebuie ca cel putin unul dintre x² si y² sa fie ≡ 0 (mod 3)

Daca nu, am avea ca x²≡ 1 (mod 3) si y²≡ 1 (mod 3), dar x²+y²=z², deci 1+1≡ 1 (mod 3) , evident fals, deci 3 | x² sau 3| y²

3 este prim, deci rezulta ca 3 | x sau 3 | y ⇒ 3 | (xy) si in acest caz.   (q.e.d.)