Question

Fie x,y,z trei numere reale astdel incat x^2 - (x-z)^2=10^3 si 2z-2x-2y=-20. Aratati ca numarul x-y+z este egal cu patratul unui numar natural. Dau coroana !!! Help pls !!

Answer 1

Fie x, y, z, trei numere reale astfel încât:
 
x^2 - (y - z)^2 = 10^3  și  2z - 2x - 2y = -20.

Arătați că numărul x - y + z este egal cu pătratul unui număr natural.

R:

Pentru prima relație, aplicăm formula diferenței pătratelor :

a² - b² = (a - b)(a + b).

x² - (y - z)² = 10³ ⇔(x - y + z)(x + y - z) =1000     (1)

Acum ne ocupăm de a doua relație :

2z - 2x - 2y = -20 |:2 ⇔ z - x - y = -10 |·(-1) ⇔ x + y - z = 10      (2)

Din relațiile (1), (2) ⇒ (x - y + z)·10=1000 |:10⇒x - y + z = 100 =10² (pătrat perfect).