Question

fie x, y, z trei numere reale strict pozitive daca x²/y² + y²/z² + z²/x² = x/z + y/x + z/y sa se arate ca x = y = z​

Answer 1

Răspuns:

Înmulțim egalitatea cu 2:

$2\dfrac{x^2}{y^2}+2\dfrac{y^2}{z^2}+2\dfrac{z^2}{x^2}-2\dfrac{x}{z}-2\dfrac{y}{z}-2\dfrac{z}{y}=0$

$\left(\dfrac{x}{y}-\dfrac{y}{z}\right)^2+\left(\dfrac{y}{z}-\dfrac{z}{x}\right)^2+\left(\dfrac{z}{x}-\dfrac{x}{y}\right)^2=0$

Rezultă

$\dfrac{x}{y}=\dfrac{y}{z}=\dfrac{z}{x}=k$

$x=ky\\y=kz\\z=kx$

Atunci $xyz=k^3xyz\Rightarrow k=1\Rightarrow x=y=z$

Explicație pas cu pas: