Question

Fie xOy un reper cartezian.
d:x+y-2=0 ,A (0,2) și A aparține lui d.
Determinați toate punctele B, B apartine lui d astfel încât AB=$2 \sqrt{2}$

Answer 1

Fie B(x, y) ∈ d astfel încât  AB = 2√2. Rezultă că   AB² = 8       (1)

$\it AB^2 = (x_B-x_A)^2 + (y_B - y_A)^2=x^2+(y-2)^2 \ \ \ \ (2)$

Din relațiile (1), (2) ⇒x² +(y-2)² = 8    (3)

Punctul B este situat pe dreapta d, deci coordonatele sale verifică

 ecuația dreptei : x+y-2 = 0 ⇒ x = 2 - y      (4)

Din relațiile (3), (4) ⇒ (2 - y)² +(y - 2)² = 8 ⇒ (y - 2)² + (y - 2)² = 8 ⇒

2(y - 2)² = 8 |:2 ⇒ (y - 2)² = 4 ⇒ y²- 4x + 4 = 4 |-4 ⇒ y² - 4x = 0 ⇒

⇒y(y - 4) = 0 ⇒ y₁ = 0,  y₂ = 4      (5)

Din (4), (5) ⇒x₁ = 2,  x₂ = -2

Așadar, am determinat două puncte B(2, 0)  și  B'(-2, 4), pentru care

AB = AB' = 2√2.

Se verifică imediat că punctul A(0, 2) este mijlocul segmentului AB.