Question

Fie z1,z2 solutiile ecuatiei z^2 +z+1=0 ,iar z3 si z4 solutiile ecuatiei z^2-z+1=0.

●a) Sa se determine multimea {z1^n +z2^n | n € N}


●●b) Sa se determine multimea { z3^n + z4^n | n€ N }


●●●c) Sa se determine n € N pentru care z1^n + z2^n =z3^n +z4^n

Answer 1

z² + z + 1 = 0             cu             solutii z₁ ; z₂ ≠ 1 
z² + z + 1 = 0        inmultim cu  ( z -1) 
( z -1)· ( z² + z +1) =0
z³ - 1 = 0 atunci                  z³ =1  
daca  n = 3k , multiplu de 3                 z₁· ( la  n) + z₂· ( la n) = 1 + 1 = 2 
daca  n = 3k + 1                                 z₁ ·( la 3k + 1) + z₂· ( la 3k +1) = 
            = z₁·( la 3k ) z₁¹ + z₂·( la 3k ) z₂¹  = z₁ +z₂ = - 1 / 1 = -1 
                   = 1                 = 1   
daca  n = 3k + 2                                z₁· ( 3k + 2)  + z₂· ( 3k + 2) = 
                             z₁ ( la 3k )· z₁² + z₂( la 3k)·z₂² = z₁² + z₂² = -1 -2z₁z₂=
         = - 1 - 2 = - 3 
b.       z² - z + 1 = 0  cu solutii  z₁  , z₂ ≠ - 1 
z² -z + 1 = 0    inmultim cu      ( z + 1)
( z + 1)· ( z² - z + 1) = 0         ⇒  z³ + 1 = 0            ; z³ = - 1 
daca  n =3k             atunci  z₁ ( la 3k) + z₂( la 3k ) = -1 -1 = - 2 
daca  n =3k +1                   z₁ ( la 3k +1) + z₂( la 3k +1) = 
=z₁( la 3k) z₁¹ + z₂( la 3k ) z₂¹ =-  z₁ -  z₂ =- [ - ( -1) /1]  =-  1 
     = - 1             - 1 
daca  n =3k + 2                 z₁( la  3k + 2) +z₂( la 3k +2) = 
= z₁( la 3k) z₁² + z₂( la 3k ) z₂² = - z₁²  - z₂² = -1  +2z₁z₂ = -1 +  2 =1 
     = - 1                 = - 1 
c.  daca n = 3k + 1