Question

fieABCD un dreptunghi, cu AB=2/3•BC. se considera punctele M, N€(BC) astfel incat [BM]=[MN]=[NC] si fie P mijlocul lui (AB). a)Arătați ca m(unghiului DMP)=90°. b)demonstrati ca triunghiul PND este dreptunghic isoscel
PLS ESTE URGENT DAU coroană PLS

Answer 1

a)Am desenat dreptunghiul cu baza BC pe orizontala.
Notam BC cu x =>AB=2x/3=DC
Daca BM=MN=NC =>BM=x/3=MN=NC 
In Δdr.PBM aflam ipotenuza PM cu t.Pit.
Stim ca AB=2x/3 =>PB=2x/3:2=x/3
PM²=PB²+BM²
PM²=x²/9+x²/9
PM²=2x²/9 =>PM=x√2/3
In Δdr.MCD aflam ipotenuza MD cu t.Pit.
Stim ca MC=x/3+x/3=2x/3
MD²=MC²+DC²
MD²=4x²/9+4x²/9=8x²/9 =>MD=2x√2/3
In Δdr.PAD aflam ipotenuza PD cu t.Pit.
Stim ca AD=x si AP=x/3
PD²=AP²+AD²
PD²=x²/9+x²=10x²/9 =>PD=x√10/3

Pentru ca ΔDMP sa fie dreptunghic, laturile acestuia trebuie sa verifice t.Pit. : MP²+MD²=?PD²
2x²/9+8x²/9=?10x²/9 ADEVARAT =>ΔDMP este dreptunghic =>m(∡DMP)=90°

b)La fel aflam laturile ΔPND
In Δdr.PBN aflam latura PN
Stim ca BN=2x/3 si BP=x/3
PN²=BP²+BN²
PN²=x²/9+4x²/9=5x²/9 =>PN=x√5/3
In Δdr.DCN aflam latura ND
Stim ca NC=x/3 si DC=2x/3
ND²=NC²+DC²
ND²=x²/9+4x²/9=5x²/9 =>ND=x√5/3
DEJA AM DEMONSTRAT CA ΔPND ESTE ISOSCEL, mai ramane sa vedem daca este si dreptunghic. Pentru asta, trebuie ca laturile lui sa verifice t.Pit.
Stim de la punctul a) latura PD=x√10/3
t.Pit. : PN²+ND²=?PD²
5x²/9+5x²/9=?10x²/9 ADEVARAT =>ΔPND este dreptunghic isoscel