Question

Figura 2 reprezinta schita unei placi de gresie. Cercul de centru O, {O}=AC intersectat BD, este tangent laturilor rombului ABCD in punctele P,Q, S, T. Suprafata discului este colorata cu rosu,iar restul placii de gresie este colorata cu galben. Daca AB=BD=12 cm, atunci:
a) Aratati ca raza cercului este egala cu $3\sqrt{3}$.
b) Comparati aria suprafetei colorate cu rosu cu aria suprafetei colorate cu galben.
c) Aratati ca punctele P,O,S sunt coliniere.

Answer 1

Salut! Nu am reusit sa o rezolv complet,dar iata ce am facut:
a) Trasezi dreapta OP. P este punctul de tangenta al cercului cu latura AB ,iar raza cercului va fi perpendiculara pe AB in P,deci asta inseamna ca OP este inaltime in triunghiul AOB.
Cu ajutorul teoremei lui Pitagora calculezi latura AO din cadrul triunghiului AOB.
O este centrul rombului,ceea ce inseamna ca injumatateste latura BD,deci BO este BD:2 , adica 6 cm.Aplicam teorema lui Pitagora : AB²=AO²+BO² ,deci AO²=AB²-BO², adica AO² = 144-36=108, deci AO = 6√3 cm. Aria triunghiului AOB se poate calcula in mai multe feluri. Prima data o vom calcula folosind formula (catetaxcateta):2 , adica (AOxOB):2 = (6√3x6):2=18√3 cm². Aceeasi arie se poate calcula si cu formula (bazaxinaltime corespunzatoare):2 ,adica (OPxAB):2. Aria fiind aceeasi,va avea si aceeasi valoare, deci (OPxAB):2=18√3 cm² , ecuatie de unde il vom afla pe OP(adica raza cautata). OP= (18√3 x 2)/12= 3√3 cm.
Deci am demonstrat ca raza are lungimea de 3√3 cm.
b) Aria suprafetei calculate cu rosu este chiar aria cercului a carui raza am aflat-o anterior, deci A. rosu = πR² = π(3√3)²
Il aproximam pe π cu 3,14 ,deci aria va fi A.rosu= 3,14x27 = 84,78 cm²
Aria suprafetei galbene este Aria totala a rombului - Aria rosie
A. rombului = (diagonala1xdiagonala2):2 = (ACxBD):2. AC=2AO=2x6√3=12√3 cm . A.rombului= (12√3x12):2=72√3 cm². 
Daca √3 este aprox 1,73 atunci A.rombului = 72x1,73= 124,56 cm²
A. galbena = 124,56 - 84,78 = 39,78 cm²
Ceea ce inseamna ca A.rosu>A.galbena

Inca nu am o rezolvare foarte clara pentru c. Mai incerc si revin. Sper ca ti-am fost de ajutor!