Figura 3 reprezintă un trapez ABCD in care AB | | CD, AB > CD, iar AD = BC. suma lungimilor bazelor este egală cu 18√5 cm, diferența lungimilor bazelor este egală cu 10√5 cm, iar inălțimea trapezului este egal cu 5√5 cm.
a) Arătați că aria trapezului ABCD este egală cu 225^2 cm.
b) Determinați măsura unghiului BAD.
c) Dacă DE | | BC, E ∈ AB și F ∈ DE astfel incât [BE] = [BF], arătați că triunghiul ACF este isoscel.
Răspunsuri la întrebare
Răspuns:
Explicație pas cu pas:
a) Aria(ABCD)=h·(AB+CD)/2=5√5·18√5/2=5·18·(√5)²/2=5·9·5=225cm².
b) AB+CD=18√5, AB-CD=10√5, Adunand aceste relatii, ⇒2·AB=28√5, ⇒AB=14√5cm, ⇒BC=18√5-14√5=4√5cm.
AD=BC, Trasam DK⊥AB, K∈AB, ⇒in ΔADK, AK=(AB-CD)/2=10√5:2=5√5, deci AK=DK, ⇒m(BAD)=45°.
c) Un desen nereusit ne poate incurca, iar unul reusit ne poate chiar sugera ideea de rezolvare.
Avem de aratat ca ΔACF este isoscel, deci are 2 laturi egale sau 2 unghiuri egale. Desenul ne duce la ideea sa aratam ca AC=CF. Pentru asta tr. sa aratam congruenta ΔADC si ΔFBC. vedem ca AD=CB si DC=EB=BF, deci avem cate 2 laturi comgruente. Tr. sa aratam ca si unghiurile dintrte ele sunt congruente. Am aratat ca m(∡BAD)=45°, ⇒m(ADC)=180°-45°=135°. In ΔADE, AD=DE=CB, ⇒m(∡AED)=m(∡BAD)=m(∡FEB)=45°. deoarece BE=BF, ⇒m(∡FEB)=45°=m(∡EFB). Atunci, m(∡FBE)=90°. Deci m(∡FBC)=90°+45°=135°=m(ADC). Deci ΔADC≡ ΔFBC, ⇒AC=FC, deci ΔACF este isoscel.
