Question

fm : R - > R, fm(x) = (m-3)x^2-3mx+2m-1, m€R / {3}.
a) Sa se găsească pct fixe ale familiei de fct {fm} m€R/{3}
b) m=? Astfel încât Gf sa fie tangent axei Ox

Answer 1

fₘ(x) = (m-3)x² - 3mx + 2m-1,  m ∈ ℝ \ {3}

a)

fₘ(a) = b,  ∀m ∈ ℝ \ {3}

⇔  (m-3)a² - 3ma + 2m-1 = b

⇔  m(a²-3a+2) - 3a²-1 = b

⇒  a²-3a+2 = 0  ⇔  (a-1)(a-2) = 0

⇒  a₁ = 1,  a₂ = 2

①  a = 1 ⇒ 0-3·1²-1 = b ⇒ b = -4

②  a = 2 ⇒ 0 -3·2²-1 = b ⇒ b = -13

Punctele fixe sunt:  (1, -4) și (2, -3).

b)

fₘ(x) = (m-3)x² - 3mx + 2m-1

Δₓ = 0 ⇒ (-3m)² - 4(m-3)(2m-1) = 0

⇔  9m² - 4(2m²-7m+3) = 0

⇔  m² + 28m - 12 = 0

Δₘ = 28² - 4·1·(-12) = 7²·16 +16·3 =

= 16·(49+3) = 16·52 = 64·13

⇒  m₁,₂  = (-28 ± 8√13)/2

$\Rightarrow \,m\in \Big\{-14-4\sqrt{13};\,\,4\sqrt{13}-14\Big\}$