Question

Fm(x)=mx^2+2(m-1)x+m-1,,,,,,. Sa se determine m E R astfel încât vârfurile parabolelor asociate FM sa fie deasupra dreptei y=2

Answer 1

Varful unei parabole apare atunci cand cele doua solutii ale ecuatiei de gradul doi sunt egale intre ele. Atunci, putem afla valoarea x pentru care solutiile sunt egale
$x1=\frac{-b+\sqrt{\Delta}}{2a}=x2=\frac{-b-\sqrt{a}}{2a}\Rightarrow \sqrt{Delta}=-\sqrt{Delta}\Rightarrow \sqrt{Delta}=0$
Deci cand delta este 0, atunci ai valoarea ordonatei x, care este atunci
$x1=x2=\frac{-b}{2a}$
n cazul nostru: a=m, b=2(m-1) si c=m-1
deci 
$x1=\frac{-(m-1)}{2m}$
Stim ecuatia functiei asa ca y=f(x). Deci pentru varful parabolei x1 avem urmatoarea valoare pentru y
$y=m*x1^{2}+2(m-1)x1+m-1=m*(\frac{-(m-1)}{2m})^{2}+2(m-1)\frac{-(m-1)}{2m}+m-1=m*\frac{4(m-1)^{2}}{4m^{2}}+2(m-1)\frac{(-2(m-1)}{2m}+m-1=\frac{4(m-1)^2-8(m-1)^{2}+4m(m-1)}{4m}=\frac{-4(m-1)^{2}+4m(m-1)}{4m}=\frac{4(m-1)(m-m+1)}{4m}=\frac{4(m-1)}{4m}=\frac{m-1}{m}$ 
Atunci trebuie ca acest y sa fie mai mare ca 2(mai mare decat dreapta 2)
$\frac{m-1}{m}>2\Rightarrow m-1>2m\Rightarrow m<-1$