Question

Folosind inductia matematica sa se demontreze ca pentru orice n apartine N avem:
a)n^3+11n sa fie divizibil cu 3
b)n^3+5n sa fie divizibil cu 6.


Va rooooog mult!​

Answer 1

Răspuns:

Explicație pas cu pas:

a) n^3+11n sa fie divizibil cu 3     ???

1) verificam ca e adevarat pentru n=1:    1³+11·1=12 e divizibil cu 3, deci True.

2) Admitem ca e adevarat si pentru n=k, deci k³+11·k e divizibil cu 3

3) Demonstram adevarul pentru n=k+1

(k+1)³+11·(k+1)=k³+3·k²·1+3·k·1²+1³+11·k+11·1=(k³+11·k)+(3k²+3k+12)=(k³+11·k)+3·(k²+k+4).  Deoarece primul termen e divizibil cu 3  (vezi subpunctul 2) si al doilea termen a sumei e la fel divizibil cu 3, rezulta ca si suma e divizibila cu 3.

Deci n³+11n e divizibil cu 3 pentru orice n∈N

b)  n^3+5n sa fie divizibil cu 6.   ????

1) verificam ca e adevarat pentru n=1:    1³+5·1=6 e divizibil cu 3, deci True.

2) Admitem ca e adevarat si pentru n=k, deci k³+15·k e divizibil cu 3

3) Demonstram adevarul pentru n=k+1

(k+1)³+5·(k+1)=k³+3·k²·1+3·k·1²+1³+5·k+5·1=(k³+5·k)+(3k²+3k+6)=(k³+5·k)+3·(k²+k)+6=(k³+5k)+3·k·(k+1)+6.  Deoarece primul termen e divizibil cu 6  (vezi subpunctul 2) si al doilea termen a sumei e la fel divizibil cu 6, deoarece se divide cu 3 si cu 2, deoarece produsul de numere consecutive, k si k+1 va fi la sigur par. Al treilea termen, adica 6 e divizibil cu 6. Rezulta ca intreaga suma se va divide cu 6, deci  n³+5n va fi divizibil cu 6, pentru orice n∈N.

Deci n³+11n e divizibil cu 3 pentru orice n∈N