Question

Folosind metoda inductiei, aratati ca daca a + $\frac{1}{a}$ ∈Z, atunci $a^{n}$ + $\frac{1}{ a^{n} }$ ∈ Z , oricare n ∈ Z, a ∈R.

Answer 1

Se foloseste o inductie P(n)+P(n+1)=>P(n+2).
Verificare
$a^{2} + \frac{1}{ a^{2} } = (a+ \frac{1}{a}) ^{2} -2 \in Z$
Inductie
consideram relatia valida pina la un n dat, unde n$\geq$2,
$a^{n+1} + \frac{1}{ a^{n+1} } =( a^{n} + \frac{1}{ a^{n} })(a+ \frac{1}{a}) - (a^{n-1} + \frac{1}{ a^{n-1} }) \in Z$, deci e valida si pentru n+1
Cf. inductiei, relatia e valabila pe N*, cum
$a^{-n}+ \frac{1}{ a^{-n} }= \frac{1}{ a^{n} }+a^{n}$ si $x^{0} + \frac{1}{x^{0}} =2$
valabilitatea relatiei se exinde pe Z.