Question

Folosind metoda inductiei matematice, sa se demonstreze ca pentru orice numar natural nenul n, este adevarata egalitatea:

$1^{3}+ 2^{3} + 3^{3} +...+ n^{3} =[ \frac{n(n+1) ^{2} }{2}]$

Answer 1

Etapa de verificare:

P(1) :  1^3 = [(1·2)/2]² ⇒ 1 = 1 (A)

Etapa demonstrației:

Presupunem  P(k)  adevărată și demonstrăm că P(k+1) e adevărată.

P(k+1): 1^3 + 2^3 + 3^3 + ... + k^3 +(k+1)^3 =[(k+1)(k+2)/2]²

P(k):1^3 + 2^3 + 3^3 + ... + k^3 = [k(k+1)/2]²

Vom avea:

P(k+1):  [k(k+1)/2]²  + (k+1)^3 =[(k+1)(k+2)/2]² ⇔

⇔  (k+1)^3 = [(k+1)(k+2)/2]² -  [k(k+1)/2]² ⇔

 ⇔ 4(k+1)^3 = [(k+1)(k+2) - k(k+1)][(k+1)(k+2) + k(k+1)] ⇔

⇔4(k+1)^3 = [(k+1)(k+2-k)][(k+1)(k+2+k)]⇔4(k+1)^3 = 2(k+1)(k+1)(k+1)·2

⇔4(k+1)^3 = 4(k+1)^3   (A)