Question

Folosind metoda inductiei matematice , sa se demonstreze ca pentru orice numar natural nenul n , sunt adevarate egalitatiile:

c)1^3+2^3+3^3+...+n^3={n(n+1)/2}^2

Answer 1

Poza conține rezolvarea.

Answer 2

Daca n=1 => P(1): 1³=(1·2 /2)² <=> 1³=1² <=> 1=1 => P(1) este propozitie adevarata .

Presupunem ca P(n):1³ +2³ +3³ +...+n³ =[n·(n+1) /2]² este adevarata si demonstram ca P(n+1):1³ +2³ +3³ +...+(n+1)³ =[(n+1)·(n+2) /2]² este adevarata ;scriem P(n+1) in functie de P(n):

[n·(n+1) /2]² +(n+1)³ =[(n+1)·(n+2) /2]² <=> (n+1)³=(n+1)²·(n+2)²-n²·(n+1)² /4 <=>

(n+1)³=(n+1)²·(n+2-n)·(n+2+n) /4 <=> (n+1)³=(n+1)²·2·2·(n+1) /4 <=> (n+1)³=(n+1)³ <=> n+1=n+1 <=> n=n => 1³ +2³ +3³ +...+n³=[n·(n+1) /2]² .