Question

Folosind metoda inductiei matrmatice , sa se demonstreze ca pt orice nr natural nenul n , sunt adevarate egalitatile: 1^2+3^2+5^2+...+(2n-1)^2=n(4n^2-1)/3
VA ROOG CAT MAI RAPID !​

Answer 1

Răspuns:

Am atașat rezolvarea în poză!

Answer 2

Răspuns:

Explicație pas cu pas:

Notam cu P(n): 1²+3²+5²+...+(2n-1)²=n·(4n²-1)/3

Etapa verificarii (pentru n=1):

P(1): 1²=1·(4·1²-1)/3 ⇔ 1=3/3 este adevarata

Etapa demontratiei:

Presupunem ca propozitia P(k) este adevarata, adica:

P(k): 1²+3²+5²+...+(2k-1)²=k·(4k²-1)/3 este adevarata

Demonstram ca propozitia P(k+1) este adevarata, adica:

P(k+1): 1²+3²+5²+...+[2(k+1)-1]²=(k+1)·[4(k+1)²-1]/3 este adevarata

Demonstratie:

1²+3²+5²+...+[2(k+1)-1]²=1²+3²+5²+...+(2k-1)²+[2(k+1)-1]²=

=k·(4k²-1)/3+[2(k+1)-1]²=k·(4k²-1)/3+(2k+1)²=k·(2k-1)·(2k+1)/3+3·(2k+1)²/3=

=[k·(2k-1)+3·(2k+1)]·(2k+1)/3=(2k²-k+6k+3)·(2k+1)/3=(2k²+5k+3)·(2k+1)/3=

=(2k²+3k+2k+3)·(2k+1)/3=[k·(2k+3)+(2k+3)]·(2k+1)/3=(k+1)·(2k+3)·(2k+1)/3=

=(k+1)·(4k²+2k+6k+3)/3=(k+1)·(4k²+8k+4-1)/3=(k+1)·[4·(k²+2k+1)-1]/3=

=(k+1)·[4·(k+1)²-1]/3

Deci P(k+1) este adevarata ⇒ P(n) este adevarata ∀ n∈N