Question

folosind metoda inductiei sa se demonstreze
2 la puterea n>nla puterea 2+n+1 ;oricare ar fi n mai mare sau egal cu 5

Answer 1

Fie propozitia:
$P(n):2^n\ \textgreater \ n^2+n+1\ ,\ \forall n\in N\ ,\ n\geq 5$

Verificam daca propozitia este adevarata pentru P(5):
[tex]P(5):2^5\ \textgreater \ 5^2+5+1\\ 32 \ \textgreater \ 31\rightarrow\text{Propozitia este adevarata}[/tex]

Presupunem ca P(k) este adevarata, si vom demonstra in functie de aceasta, ca P(k + 1) este adevarata:

[tex]P(k):2^k\ \textgreater \ k^2+k+1\ ,\ \forall k\in N\ ,\ k\geq 5\ \ \text{adevarat}\\\\ P(k+1):2^{k+1}\ \textgreater \ (k+1)^2+(k+1)+1\\ P(k+1):2^{k+1}\ \textgreater \ k^2+3k+3\\ 2^k \ \textgreater \ k^2+k+1\rightarrow 2^{k+1}\ \textgreater \ 2k^2+2k+2\\\\ \text{Vom demonstra ca }2k^2+2k+2\ \textgreater \ k^2+3k+3\\ 2k^2+2k+2-k^2-3k-3\ \textgreater \ 0\\ k^2-k-1\ \textgreater \ 0\\ \Delta=1+4=5\\ k_{1,2}=\frac{1\pm\sqrt{5}}{2}\\ \text{Stim ca in afara radacinilor, expresia va fi pozitiva}\\ k^2-k-1\ \textgreater \ 0\rightarrow k\in (-\infty, \frac{1-\sqrt{5}}{2})\cup(\frac{1+\sqrt{5}}{2}, \infty)\\\\ [/tex]

[tex]\left\begin{array}{ll} k\geq5\\ 5\ \textgreater \ \frac{1+\sqrt{5}}{2}\\ \end{array}\right]\rightarrow k^2-k-1\ \textgreater \ 0\ \text{ este adevarat pentru } \forall\ k\in N, k\geq5 \right\\\\\\ 2^{k+1}\ \textgreater \ 2k^2+2k+2\ \textgreater \ k^2+3k+3\rightarrow P(k+1)\ \\ P(k+1) - adevarata\\ \text{Presupunerea este adevarata}[/tex]

P(n) este adevarat pentru orice n ≥ 5, n natural.