Question

Folosind metoda inecuatiei matematice sa se demonstreze ca pentru orice n aparține la N* au loc egalitățile:​

Answer 1

Explicație pas cu pas:

d)

Demonstrație prin inducție matematică:

1. Etapa de verificare: se verifică dacă propoziţia P(1) este adevărată:

$P(1) : 1(1 + 1) = \dfrac{1(1 + 1)(1 + 2)}{3} \\ \iff 2 = 2 \ (A) \implies P(1) \ (A)$

2. Etapa de demonstrație: se presupune că propoziţia P(n) este adevărată:

$P(n) \ (A) : 1 \cdot 2 + 2 \cdot 3 + ... + n(n + 1) = \dfrac{n(n + 1)(n + 2)}{3}$

şi se demonstrează că P(n+1) este adevărată:

$P(n+1) : \underbrace{1 \cdot 2 + 2 \cdot 3 + ... + n(n + 1)}_{P(n)} + (n + 1)(n + 2) =$

$= \dfrac{n(n + 1)(n + 2)}{3} + (n + 1)(n + 2)$

$= \dfrac{n(n + 1)(n + 2) + 3(n + 1)(n + 2)}{3}$

$= \dfrac{(n + 1)(n + 2)(n + 3)}{3} \implies \bf P(n + 1) \ (A)$