Question

Folosind notațiile uzuale,arătați ca intr un triunghi ABC au loc următoarele egalități:

Answer 1

Răspuns:

a) Din teorema sinusurilor

$b=2R\sin B, \ c=2R\sin C$

Înlocuim în membrul drept:

$b\cos B+c\cos C=2R\sin B\cos B+2R\sin C\cos C=R(\sin 2B+\sin 2C)=\\=2R\sin (B+C)\cos (B-C)=2R\sin A\cos (B-C)=a\cos (B-C)$

b) Din teorema cosinusului

$\cos A=\displaystyle\frac{b^2+c^2-a^2}{2bc}$

Analog pentru $\cos B, \ \cos C$. Atunci

$ab\cos C+bc\cos A+ca\cos B=ab\displaystyle\cdot\frac{a^2+b^2-c^2}{2ab}+bc\cdot\frac{b^2+c^2-a^2}{2bc}+ca\cdot\frac{c^2+a^2-b^2}{2ca}=\\=\frac{1}{2}\left(a^2+b^2-c^2+b^2+c^2-a^2+c^2+a^2-b^2\right)=\frac{a^2+b^2+c^2}{2}$

Explicație pas cu pas: