Folosind teorema lui Lagrange, cum arat ca 3^x-2^x=5^x-4^x?
Răspunsuri la întrebare
Salut,
Fie funcția f(t) = tˣ, cu derivata f ' (t) = x·t ˣ⁻¹ (puterea lui t este x-1).
Funcția exponențială este una dintre funcțiile elementare, deci este continuă.
Aplicăm teorema lui Lagrange pe 2 intervale distincte [2, 3] și [4,5].
Funcția f(t) este continuă pe aceste intervale și este derivabilă pe intervalele (2,3) și (4,5). Funcția nu este derivabilă în punctele 2, 3, 4 și 5, pentru că una dintre derivatele laterale nu există, deci derivata la stânga nu poate fi egală cu derivata la dreapta, deci funcția nu este derivabilă.
Teorema lui Lagrange demonstrează că în condițiile de mai sus există:
c₁ ∈ (2,3) pentru care f(3) - f(2) = (3 - 2) · f ' (c₁) și separat există:
c₂ ∈ (4,5) pentru care f(5) - f(4) = (5 - 4) · f ' (c₂).
Este evident că c₁ ≠ c₂, pentru că (2,3) ∩ (4,5) = ∅
Cele 2 relații devin:
3ˣ - 2ˣ = x · c₁ˣ⁻¹
5ˣ - 4ˣ = x · c₂ˣ⁻¹.
Din enunț avem că membrii stângi sunt egali, deci:
x · c₁ˣ⁻¹ = x · c₂ˣ⁻¹ => x (c₁ˣ⁻¹ - c₂ˣ⁻¹) = 0.
De aici x₁ = 0, sau c₁ˣ⁻¹ - c₂ˣ⁻¹ = 0, sau c₁ˣ⁻¹ = c₂ˣ⁻¹.
Dacă logaritmezi în baza 10 (de exemplu), obții că:
lg(c₁ˣ⁻¹) = lg(c₂ˣ⁻¹), sau (x-1)·lg(c₁) = (x-1)·lg(c₂), sau (x-1)[lg(c₁) - lg(c₂)] = 0.
A doua paranteză nu poate fi nulă, pentru că c₁ ≠ c₂ (vezi mai sus), deci finalul este că x - 1 = 0, deci x₂ = 1.
Aceasta este demonstrația corectă și completă.
Succes la școală !
Green eyes.