Question

Folosind teoremele care se refera la diagonalele unui trapez isoscel ,demonstrati ca un triunghi cu doua mediane congruente este isoscel .
Ipoteza:
Concluzie:
Demonstratie:

Answer 1

Sa presupunem ca avem trapezul ABCD cu AB||CD precum in imaginea de mai jos, diagonalele AC si BD inaltimile trapezului AM si BN. Presupunem ca nu stim ce proprietati are trapezul, dar stim ca diagonalele sunt congruente: AC=BD
AM si BN sunt distante dintre 2 drepte paralele. Stim ca distanta dintre 2 drepte paralele este aceeasi indiferent de capete, atunci AM=BN

AM este perpendiculat pe CD, atunci triunghiul AMC este dreptunghic cu catetele AM si MC si ipotenuza AC. Atunci
$AM^{2}+MC^{2}=AC^{2}\Rightarrow MC^{2}=AC^{2}-AM^{2}$
$BN^{2}+DN^{2}=BD^{2}\Rightarrow DN^{2}=BD^{2}-BN^{2}=AC^{2}-AM^{2}=MC^{2}\Rightarrow DN=MC$
Dar DN si MC pot fi scrise ca
$DN=MD+MN=MC=MN+CN\Rightarrow MD=CN$
AM este perpendicular si pe DM atunci triunghiul AMD este dreptunghic in M cu catetele AM si MD si ipotenuza AD. Prin teorema lui Pitagora
$AM^{2}+DM^{2}=AD^{2}$
BN perpendicular pe CD, atunci avem triunghiul dreptunghic BNC cu catetele BN si CN si ipotenuza BC Prin teorema lui Pitagora
$BN^{2}+CN^{2}=AM^{2}+DM^{2}=BC^{2}$
Atunci rezulta ca
$AD=BC$ deci trapezul ABCD este trapez isoscel.
Acum luam in considerare triunghiul OCD. sa consideram ca AC si BD sunt mediane congruente.  Daca sunt mediane, atunci A si B sunt mijloacele laturilor OD si OC
$AD=\frac{1}{2}OD$
$BC=\frac{1}{2}OC$
Am demonstrat ca daca diagonalele sunt congruente, atunci trapezul este isoscel adica
$AD=BC\Rightarrow \frac{1}{2}OD=\frac{1}{2}OC\Rightarrow OD=OC$ deci OCD este triunghi isoscel