Question

Formula lui Gauss explicata cu numere pare si impare.

Answer 1

Vom nota ultimul numar impar ca fiind 2n-1
S=1+3+5+...+(2n-1)    (1)
O proprietatea a adunarii este comutativitatea deci putem scrie S:
S=2n-1+2n-3+2n-5+...+1     (2)
Daca adunam relatiile (1) si (2) obtinem
2*S=(2n-1+ 1)+ (2n-3 + 3) + ...+ (1+ 2n -1)
2*S=2n+2n+...+2n
Acum trebuie sa vedem de cate ori se repeta 2n. Termenul 2n se repeta de n ori (Poti lua si niste cazuri, sa dai valori lui n ca sa vezi ca se repeta de n ori).
2*S=2n*n
Impartim la 2 si obtinem ca S=$n^{2}$
In cazul in care avem o suma doar de numere pare, notam ultimul numar 2n si procedam in mod asemanator:
S=2+4+6+...+2n
S=2n+2n-2+...+2
2*S=(2n+2)+ (2n-2+4)+...+(2n+2)
Termenul 2n+2 se repeta tot de n ori=>
2*S=(2n+2)n
dai factor comun pe 2 si obtii 
2*S=2*n(n+1)=>S=n(n+1)
In cazul in care ai suma primelor n numere naturale consecutive:
S=1+2+3+...+n
S=n+...+1
2S=n+1+ n+1+...+n+1
S=n(n+1)/2 (Suma lui Gauss)

Answer 2

FORMULA LUI GAUSS

1. Suma din 1 în 1:

1+ 2+ 3+ ... + 20=

P₁- Se adună primul termen cu ultimul, al 2-lea cu penultimul, până când ajungi la un şir de sume formate din doi termeni:

(1+20)+ (2+ 19)+ (3+ 18)+ (4+17)+ (5+15)+ (6+15)+ (7+14)+ (8+ 13)+ (9+12)+ (10+11)=

P₂: Se obţine o adunare repetată de termeni egali:

21+21+21+ 21+ 21+ 21+ 21+ 21 +21+21=

P₃ Se transformă adunarea repetată de termeni egali în înmulţire:

21· 10=

P₄ Se efectuează:

21·10=210

P₅: Se trage concluzie ... FORMULA LUI GAUSS:

n·( n+ 1): 2=

n    = ultimul termen din şir;
n+1= succesorul ;
:2   = suma este dată de 2 termeni, deci nr. de repetare este la jumătate.


2. SUMA LA NR. IMPARE: