Question

fractiile urmatoare sunt asezate astfel :
1/1
1/2,2/2,2/1
1/3,2/3,3/3,3/2,3/1
1/4,2/4,3/4,4/4,4/3,4/2,4/1
.............................................
a) cate fractii se afla pe linia 2009?
b) aratati ca, daca scriem ,,n,, linii complete, numarul total a fractiilor scrise pe cele ,,n,, linii este un patrat perfect.

Answer 1

a) Pe prima linie avem o fractie, pe a doua avem 3 fractii, apoi 5, 7, etc.

Observam ca pe linia x avem 2(x-1)+1 fractii.
Deci pe linia 2009 sunt 2(2009-1)+1=2*2008+1=4017 fractii.

b) Numarul total de fractii va fi: 

$S=1+3+5+...+[2(n-1)+1]= \\ = [\frac{2(n-1)+1+1}{2}] ^{2} = \\ =[(n-1)+1] ^{2} = \\ = n^{2} -patrat~perfect$