Question

Functie discontinua intr-un punct x0 care are derivata in x0
Stie cineva sa rezolve ex?​

Answer 1

Studiem continuitatea in x=0

f(0)=0

$ls= \lim_{x \to \inft0} arctg\frac{1}{x} =arctg\frac{1}{0} =arctg-\infty =-\frac{\pi}{2}\\ \ \ \ \ x < 0$

$ld= \lim_{x \to \inft0} arctg\frac{1}{x} =arctg\frac{1}{0} =arctg\infty =\frac{\pi}{2}\\x > 0$

ls≠ld≠f(0)⇒ f discontinua in x₀=0

f'(0)=0

$f'(x)=(arctg\frac{1}{x} )'=\frac{1}{\frac{1}{x^2} +1} \times (-\frac{1}{x^2} )=-\frac{x^2}{1+x^2} \times \frac{1}{x^2} =\frac{1}{1+x^2}$

f'(0)=-1⇒ f are derivata in x₀=0

Answer 2

Răspuns:

Explicație pas cu pas:

da, calculand limitele laterakle ale derivatei, ajungi ca sunt finite si egale cu -1

le poti vedea pe grafic

se pare ca , dupa teorie derivata exista

" Orice funcţie discontinuă într-un punct nu este derivabilă în acest punct.  Există funcţii discontinue într-un punct şi care au derivată în acel punct." conform cursului"https://pdfcoffee.com/functii-derivabile-legatura-intre-continuitate-si-derivabilitate-derivate-laterale-derivate-de-ordin-superior-1-pdf-free.html"

ai calculul la colega..vezi ca, la raspunsul  final,  a "uitat" un minus, cel din fata liniei de fractie

iar la functie ai

vezi ca ai cand x->0 ,si x>0 ai arctg(+infinit) =pi/2

cand x->0 si  x<0 ai arctg(-infinit) =-pi/2

deci ARE DERIVATA , DAR NU E DERIVABILA, AICI era subtilitatea (asta e ANALIZA!!!);

nu e derivabil;a, pt ca nu e continua (limite laterale finite, diferite si diferite de valoarea functiei)

dar are derivata (limite laterale finite si egale) dar nu e derivabila , ptr ca e discontinua,