Question

Functii...  

Fie f,g:R⇒R,   $f(x)= \left \{ {{1-x} \atop {-x}} \right.$
                      g(x)=1-x , x∈Q si (1-x)/(1+x) , x∈Q\R   


                   

Sa se arate ca f ₀ f ₀ f ₀... ₀ f (de 2n ori)=g ₀ g ₀ g ₀ ... ₀ g (de 2n ori)

Answer 1

Dacă $x\in\mathbb{Q}$ atunci $1-x\in\mathbb{Q}$
Dacă $x\notin\mathbb{Q}$ atunci $-x\notin\mathbb{Q}$
Atunci
$(f\circ f)(x)=\begin{cases}1-(1-x), \ x\in\mathbb{Q}\\-(-x), \ x\notin\mathbb{Q}\end{cases}\Rightarrow (f\circ f)(x)=x, \ \forall x\in\mathbb{R}$
Atunci $\underbrace{f\circ f\circ f\ldots\circ f}_{\mbox{2n ori}}(x)=x$
Analog se arată că $(g\circ g)(x)=x$ deci
$\underbrace{g\circ g\circ g\ldots\circ g}_{\mbox{2n ori}}(x)=x$