Question

Functii si limite de siruri.Doar b-ul si c-ul (daca se stie).
Multumesc.

Answer 1

Explicație pas cu pas:

$\text{\bf b)}$ Voi folosi teorema următoare:

Fie $(a_n)$ un șir descrescător, și limitat jos, înseamnă că șirul este convergent.

Ipoteză: $\forall n\in\mathbb{N}\quad x_n>1$

Demonstrație:

Pentru $n=0$ se satisface. Să presupunem că se satisface pentru un anumit $n\in\mathbb{N}$.

O notă: $f\left( x\right)=\frac{2x+1+3-3}{x+2} =\frac{2x+4-3}{x+2}=2-\frac{3}{x+2}$

Deci $x_n>1\implies 2+x_n>3\implies\frac{1}{2+x_n}<\frac{1}{3}\implies\frac{3}{2+x_n}<1\implies -\frac{3}{2+x_n}>-1\implies \underbrace{2-\frac{3}{2+x_n}}_{x_{n+1}}>1$

Ipoteză: $\forall n\in\mathbb{N}\quad x_{n+1} < x_{n}$

Demonstrație:

Dacă $n=0$ vom avea: $x_1=2-\frac{2}{2+2}<2=x_0$

Să presupunem că se satisface pentru $n-1\in\mathbb{N}$ cu $n\ge 1$. Deci:

${x}_{n+1}-{x}_{n}=2-\frac{3}{2+{x}_{n}}-\left(2-\frac{3}{2+{x}_{n-1}}\right)=3\left(\frac{1}{2+{x}_{n-1}}-\frac{1}{2+{x}_{n}}\right)=\\ =3\cdot\frac{2+{x}_{n}-\left(2+{x}_{n-1}\right)}{\left(2+{x}_{n-1} \right)\left(2+{x}_{n}\right)}=3\cdot\frac{{x}_{n}-{x}_{n-1}}{\left(2+{x}_{n-1}\right)\left(2+{ x }_{ n }\right)}<0$

adică $x_{n+1} < x_n$

Aplicand teorema, concludem că $\lim_{n\to\infty}{x_n}=x\in\left[0,+\infty\right)$

Deci $x=\lim{x_{n+1}}=\lim{f(x_n)}=f\left(\lim{x_n}\right)=f(x)\implies x=\frac{2x+1}{x+2}\implies x(x+2)=2x+1\implies x^2=1\implies x=1$ pentru că $-1\notin \text{Dom}f$.

$\text{\bf c)}$ Să observăm că

$\forall k\in\mathbb{N}\quad y_{k+1}=y_k+x_{k+1}-1$

Ipoteză: Să se considere mulțimea $S=\left\{p\in\mathbb{N}:\: \lim_{n\to\infty}{y_{n+p}-y_n}=0\right\}$ cu privrea de a demonstra că $S=\mathbb{N}$

Este foarte clar că $0\in S$. Să presupunem că $n\in S.$

Deci: $y_{n+p+1}-y_n=y_{n+p}+x_{n+p+1}-1-y_n=(y_{n+p}-y_n)+(x_{n+p+1}-1)$

de unde vom avea:

$\lim_{n\to\infty}{y_{n+p+1}-y_n}=\lim_{n\to\infty}{(y_{n+p}-y_n)+(x_{n+p+1}-1)}=\lim_{n\to\infty}{(y_{n+p}-y_n)}+\lim_{n\to\infty}{(x_{n+p+1}-1)}=0$

Ceia ce înseamnă că $p+1\in S$. Prin consecință, $S$ este o mulțime inductivă. Știind să cea mai mică mulțime inductivă este $\mathbb{N}$ și că $S\subseteq \mathbb{N}$ vom avea că $\mathbb{N}\subseteq S$. În așa fel am demonstrat că $S=\mathbb{N}.$

Aceasta implică, prin definiție, că:

$\forall \varepsilon>0\quad \exists N\in\mathbb{N}:\:n>N\implies y_{n+p}-y_n<\varepsilon$

pentru orice $p\in\mathbb{N}$

În particular, dacă considerăm $m=n+p$ vom avea:

$\forall \varepsilon>0\quad \exists N\in\mathbb{N}:\:m\ge n>N\implies y_m-y_n<\varepsilon$

În caz general, vom avea:

$\forall \varepsilon>0\quad \exists N\in\mathbb{N}:\:m,n>N\implies \left|y_m-y_n\right|<\varepsilon$

Adică $(y_n)$ este șir Cauchy. Fiindcă $\left[0,+\infty\right)$ este un spațiu complet, toate șirurile Cauchy sunt convergente, în particular $(y_n)$ este un șir convergent.