Question

G(1,*)....*:GxG---G (X,Y)------X*Y=xy-x-y+2....aratati ca (G,*)este grup comutatuv

Answer 1

1)Operatii interne

oricare ar fi x,y apartine lui IR rezulta x compus cu y apartine lui IR

x apartine lui IR
y apartine lui IR  rezulta din cele doua x ori y apartine lui IR
 -x-y apartine lui IR Conculuzie x compus cu y apartine lui IR

2)Asocitativitatea

(x*y)*z= a *z = az-a-z+2 = (x*y)z - (x*y)-z+2=  (xy-x-y+2)z-(xy-x-y+2)-z+2= xyz-xz-yz+2z-xy+x+y+2-z+2= xyz-xz-yz-xy+x+y+z+4

x*(y*z)=x*b = xb-x-b+2=  x(y*z)-x-(y*z)+2= x(yz-y-z+2)-x-(yz-y-z+2)+2=xyz-xy-xz+2x-x-yz+y+z+4=xyz-xy-xz-yz+x+y+z+4

M1=M2 ORICARE AR FI X Y Z APARTINE LUI IR

3)Element neutru

x*e=x

xe-x-e+2=x

e(x-1)=x+x-2
e(x-1)=2x-2
e(x-1)=2(x-1)
e(x-1)-2(x-1)=0
(X-1)(e-2)=0
x-1 ====== oarecare
e-2=0
e=2

4)Elemente simetrizabile

x'*x=e
x'*x=2

x'x-x'-x+2=2
x'(x-1)=2-2+x
x'(x-1)=x
$x'= \frac{x}{x-1}$

CE X-1≠0 X≠1    1 NU ESTE SIMETRIZABIL CADE STRUCTURA DE GRUP

5)Comutativitatea

M1=M2 Adunare in IR comutativa rezulta grup abelian sau comutativ