Question

G=(2, infinit)
X*y=xy-2x-2y+6
(G,x) grup abelian

Answer 1

Răspuns

Explicație pas cu pas:

Se verifica proprietatiile grupului abelian .

Partea stabila :

x*y=xy-2x-2y+6=x(y-2)-2(y-2)+2=(x-2)(y-2)+2

Deoarece x,y > 2, e evident ca x-2>0 si y-2> 0 , adica (x-2)(y-2) >0 , de unde (x-2)(y-2)+2 > 2 .Prin urmare x*y∈(2,∞) , deci G este parte stabila.

Asociativitate :

x*(y*z)=(x*y)*z , ∀x,y,z ∈ G

x * [(y-2)(z-2)+2]= [(x-2)(y-2)+2]*z

(x-2)[(y-2)(z-2)+2-2]+2= [(x-2)(y-2)+2-2](z-2)+2

(x-2)(y-2)(z-2)+2 = (x-2)(y-2)(z-2)+2 , relatie adevarata

Element neutru:

 x * e = e* x= x , ∀x∈G

 x * e= x

 (x-2)(e-2)+2=x

 (x-2)(e-2)-(x-2)=0

  (x-2)(e-2-1)=0

   (X-2)(e-3)=0

 e-3 = 0 ⇒ e=3

Elemente simetrizabile:

x * x' = x' * x= e ,  ∀x,x' ∈ G

 x * x'=3

 (x-2)(x'-2)+2=3

 (x-2)(x'-2)=1

 x'-2=1/(x-2)

 x' = 1/(x-2) + 2

 Bazandu-ne pe faptul ca x> 2 , atunci si x' > 2,deci toate elementele sunt simetrizabile.

Comutativitate:

x*y=y*x , ∀ x,y∈G

(x-2)(y-2)+2=(y-2)(x-2)+2

(x-2)(y-2)=(y-2)(x-2) , adevarat

Prin urmare (G, *) este grup abelian.