Question

G=(3,+∞),x*y=xy-3x-3y+12 (∀) xy ∈ G
H=(2,+∞),xoy=xy-2x-2y+6 (∀) xy ∈ H
f:G-H,f(x) = x-1
Aratati ca f este izomorfism de la gr. (G,*) la gr (H,o) .

Answer 1

x×y = ( x -3)·( y -3)  + 3 
xoy = ( x - 2)·( y - 2) + 2 
               f ( x ) = x - 1 
( G  , ×)---------------------->   ( H , o)  morfism  , deci 
         f(x × y ) = f( x )  o f (y) 
          x × y  - 1  = ( x -1) o ( y -1) 
( x -3) ·( y - 3)  + 3   -1 = [ ( x - 1 - 2) · ( y -1 - 2) ] + 2 
( x -3 ) · ( y - 3) + 2    = ( x -  3 ) · ( y - 3 )  + 2 , adevarat , morfism 
si  f(x) =bijectiva  , adevarat  
daca   x ∈ ( 3 ; + ∞ )     ⇒ f(x) ∈ ( 2 ;   + ∞ ) 

Answer 2

$f:(G ,*)-\ \textgreater \ (H ,o)$

Aratam ca f este morfism

$f(x*y)=f(x)o f(y)$

M1:  $f(x*y)=x*y-1=xy-3x-3y+12-1=xy-3x-3y+11$

M2:  $f(x)of(y)= (x-1)o(y-1)= (x-1)(y-1)-2(x-1)-2(y-1)+6$

$xy-x-y+1-2x+2-2y+2+6=xy-3x-3y+11$

M1=M2 rezulta ca f este morfism

Pentru a studia izomorfismul avem


1)Injectivitatea

[tex]f(x)=f(y) x-1=y-1 x=y (A)[/tex] f este injectiva

2)Surjectivitatea

Oricare ar fi y ∈ H , exista un x∈ G  f(X)=y

[tex]f(x)=y x-1=y x=y+1[/tex] Apartine lui H

Daca f este si injectiva si surjectiva rezulta f bijectiva

Din toate acestea trei rezulta f izomorfism