Question

(G, •) - grup comutativ finit
e = element neutru
x^2=e pentru mai mult de jumatate din elementele lui G

Aratati ca x^2=e pentru toate elementele lui G

Answer 1

Fie    G={x,x2,....,xk ,xk+1,....x2k}

Presupunem ca    e=x^2 este     element    neutru pt primii  k+1 elemente.    si    g element     neutru      pentru elementele xk+2...x2k

DEoarece     un    grup      are un      singur      element neutru=>   g    element    neutru       si       pt      primele  k+1 elemente

Deci     putem     scrie

g*xi=e*xi            i=2,3,...k+1

g*xi=x^2*xi Impartim     egalitate PRIN    Xi=/=0

g=x^2=e

DEoarece      g     este    element    neutru=>

xi*g=xi*e

xi*g=xi*x^2 Impartim    prin      xi

g=x^2=e

Deci   g=e   element    neutru