Question

g(x)=(X^2-1)lnx ,am ajuns la expresia x^2lnx-lnx ,se mai poate transforma/reduce ? cum demonstrez ca g(x) mai mare sau egal cu 0(zero) oricare ar fi x ?

Answer 1

Logaritmul impune x>0
g(x)=(x-1)(x+1)lnx
Ne intereseaza semnul lui g(x)
Ptr. x>1 , x-1>0, x+1>0, lnx > 0 => g(x) > 0  (+*+*+ = +)
Ptr. 0<x<1, x-1<0, x+1>0, lnx < 0 => g(x) > 0 (-*+*- = +)

Answer 2

Datorită logaritmului, domeniul de definiție a funcției g(x) este D = (0, ∞).

Avem următoarele cazuri:

[tex]\it \ I)\ x\in (0,\ 1) \Rightarrow \begin{cases} \it x^2\ \textless \ 1 \Rightarrow x^2-1 \ \textless \ 0 \\ \\ \it lnx \ \textless \ 0 \end{cases} \Rightarrow g(x) \ \textgreater \ 0 \ \ \ \ (1)[/tex]

[tex]\it \ II)\ \ x=1 \Rightarrow x^2=1 \Rightarrow x^2-1=0 \Rightarrow g(x) =0\ \ \ \ \ (2) \\ \\ \\ III)\ x\in (1,\ \infty ) \Rightarrow \begin{cases} \it x^2\ \textgreater \ 1 \Rightarrow x^2-1 \ \textgreater \ 0 \\ \\ \it lnx \ \textgreater \ 0 \end{cases} \Rightarrow g(x) \ \textgreater \ 0 \ \ \ \ (3) [/tex]

$\it (1),\ (2),\ (3) \Rightarrow g(x) \geq0, \ \ \forall\ x\in\ D$