Question

G=Z *:ZxZ----Z ,(x,y)------x*y=x+Y+1 demonstrati ca (Z,*) este grup abelian

Answer 1

1)Operatii interne

Oricare ar fi x,y apartine lui ir rezulta x *y apartine lui IR

x apartine lui IR
y apartine lui IR rezulta din cele doua x+y apartine lui IR

2)Asociativitatea
(x*y)*z= a *z = a+Z+1 =  x+y+z+2

x*(y*z)=x*b = x+b+1 = x+y+z+2  M1=M2 oricare ar fi x ,y ,z apartine lui IR

3)Element Neutru
x*e=x
x+e+1=x
e+1=0
e=-1
Element neutru= -1
4)Elemente simetrizabile

x'*x=e
x'*x=-1
x'+x+1=-1
x'=-1-1-x
x'=-2-x
la monoid nu avem simetrice ; sunt doar unitatile monoidului
Cade structura de grup

5)Asociativitatea 

x*y=y*x 

Membrul 1 x*y=x+y+1
Membrul 2 y*x=y+x+1 

Adunarea in IR este comutativa rezulta Z,* MONOID COMUTATIV