Question

Gaseste numerele prime din x,y si z stiind ca 2x+y+z=13

Answer 1

2x = nr. par ⇒ y+z = nr. impar = nr. par +nr. impar ⇒ y = 2
2x +z = 11
⇒ 2x = nr.par < 11 ⇒ x ∈ {2, 3, 4,} ⇒ urmatoarele solutii :
x = 2, y = 2, z = 7
x = 3, y = 2, z =5

Answer 2

Ne uitam la necunoscuta cu coeficientul cel mai mare, ca sa-i stabilim valoarea maxima pe care o poate lua: aici, x are coeficientul cel mai mare, deci:

2x<13  (pentru ca x, y si z >0 fiind numere prime), de unde:

x≤6 si x prim, deci x∈{2, 3, 5}

1) Daca x=2:
2*2+y+x=13
y+z=9

Stim ca simgurul numar prim par este 2 si presupunem ca y si z ar fi amandaoua impare. Rezulta ca impar+impar=par=9 Contradictie, deci unul este prim par, adica 2: fie y=2, deci z=9-2=7 prim convine. Relatia este simetrica, deci si varianta z=2 si y=7 convine.

2) Daca x=3:
2*3+y+z=13
y+z=7 Cu rationamentul de mai sus, cum 7 este impar rezulta ca y=2 si z=7-2=5 prim convine, respectiv z=2 si y=5 convine.

3) Daca x=5:
2*5+y+z=13
y+z=3
Cum 2 este cel mai mic numar prim rezulta ca:
2≤y
2≤z
4≤y+z=3 contradictie

Deci solutiile sunt tripletele de numere prime (x,y,z)∈{(2,2,7), (2,7,2), (3,2,5), (3,5,2)}.