gasiti numerele abc cu proprietatea ca a(b^2+c^2) divide 2014.
Lena11:
ce inseamna caciulita aceia?
Caciulita inseamna
Caciulita inseamna "la puterea"
Răspunsuri la întrebare
Răspuns de
2
Pentru rezolvare ne vom folosi de doua proprietati:
1) Orice numar prim de forma 4k+1 se poate scrie ca suma de 2 patrate perfecte.
2) Un numar natural se poate scrie ca suma a 2 patrate perfecte daca si numai daca nu are in descompunere factori de forma 4k+3 la puteri impare.
Descompunem 2014=2*19*53, numarul divizorilor lui 2014 este egal cu (1+1)(1+1)(1+1)=8 si anume: 1,2,19,38,53,106,1007,2014.
Conform 1) il vom avea pe 53 ca suma a 2 p.p.
Conform 2) 2014,1007,38 si 19 au in descompunere factori de forma 4k+3 la puteri impare, respectiv pe 19, deci nu pot fi scrise ca sume de patrate perfecte. Rezulta ca si 106 poate fi scris ca suma de patrate perfecte.
Deci vom avea 53 = 2^2+7^2; 106 = 5^2+9^2.
I. Pentru cazul b=2, c=7, a poate fi 1,2,19 sau 38.
II. Pentru cazul b=5, c=9, a poate lua valorile 1 sau 19.
Solutii: (1,2,7);(2,2,7);(19,2,7);(38,2,7);(1,5,9);(19,5,9). Evident ca si (1,1,1) este o solutie.
1) Orice numar prim de forma 4k+1 se poate scrie ca suma de 2 patrate perfecte.
2) Un numar natural se poate scrie ca suma a 2 patrate perfecte daca si numai daca nu are in descompunere factori de forma 4k+3 la puteri impare.
Descompunem 2014=2*19*53, numarul divizorilor lui 2014 este egal cu (1+1)(1+1)(1+1)=8 si anume: 1,2,19,38,53,106,1007,2014.
Conform 1) il vom avea pe 53 ca suma a 2 p.p.
Conform 2) 2014,1007,38 si 19 au in descompunere factori de forma 4k+3 la puteri impare, respectiv pe 19, deci nu pot fi scrise ca sume de patrate perfecte. Rezulta ca si 106 poate fi scris ca suma de patrate perfecte.
Deci vom avea 53 = 2^2+7^2; 106 = 5^2+9^2.
I. Pentru cazul b=2, c=7, a poate fi 1,2,19 sau 38.
II. Pentru cazul b=5, c=9, a poate lua valorile 1 sau 19.
Solutii: (1,2,7);(2,2,7);(19,2,7);(38,2,7);(1,5,9);(19,5,9). Evident ca si (1,1,1) este o solutie.
Alte întrebări interesante