Question

Găsiți numerele naturale divizibile cu 9, de forma:
a) 15a
b)2a9
c)313a
d)5a7
e)12ab0
f)a2b8

Answer 1

Răspuns: Ai demonstrația mai jos

Explicație pas cu pas:

✳️ Criteriul de divizibilate cu 9: "Un număr este divizibil cu 9 dacă și numai dacă suma cifrelor numărului este divizibilă cu 9"

a) 15a ⋮ 9

a este cifră ⇒ a ∈ {0, 1, 2, 3, 4, 5, 6, 7, 8, 9}

Respectând criteriul de divizibilitate cu 9 ⇒ 1 + 5 + a = 6 + a ⇒ suma cifrelor numărului 15a pentru a fi divizibilă cu 9 poate fi doar 9 ⇒ 6 + a = 9 ⇒ a = 9 - 6 ⇒ a = 3 ⇒ 15a = 153

==================================

b) 2a9 ⋮ 9

a este cifră ⇒ a ∈ {0, 1, 2, 3, 4, 5, 6, 7, 8, 9}

Respectând criteriul de divizibilitate cu 9 ⇒ 2 + a + 9 = 11 + a ⇒ suma cifrelor numărului 2a9 pentru a fi divizibila cu 9 poate fi doar 18 ⇒ 11 + a = 18 ⇒ a = 18 - 11 ⇒ a = 7 ⇒ 2a9 = 279

==================================

c) 313a ⋮ 9

a este cifră ⇒ a ∈ {0, 1, 2, 3, 4, 5, 6, 7, 8, 9}

Respectând criteriul de divizibilitate cu 9 ⇒ 3 + 1 + 3 + a = 7 + a ⇒ suma cifrelor numărului 313a pentru a fi divizibilă cu 9 poate fi doar 9 ⇒ 7 + a = 9 ⇒ a = 9 - 7 ⇒ a = 2 ⇒ 313a = 3132

==================================

d) 5a7 ⋮ 9

a este cifră ⇒ a ∈ {0, 1, 2, 3, 4, 5, 6, 7, 8, 9}

Respectând criteriul de divizibilitate cu 9 ⇒ 5 + a + 7 = 12 + a ⇒ suma cifrelor numărului 5a7 pentru a fi divizibilă cu 9 poate fi doar 18 ⇒ 12 + a = 18 ⇒ a = 18 - 12 ⇒ a = 6 ⇒ 5a7 = 567

==================================

e) 12ab0 ⋮ 9

a, b sunt cifre ⇒ a, b ∈ {0, 1, 2, 3, 4, 5, 6, 7, 8, 9}

Respectând criteriul de divizibilitate cu 9 ⇒ 1 + 2 + a + b + 0 = 3 + a + b ⇒ suma cifrelor numărului 12ab0 pentru a fi divizibilă cu 9 poate fi 9 sau 18

Vom analiza pe cazuri și vom avea:

dacă a = 0 ⇒3 + 0 + b = 9 ⇒ b = 6 ⇒ 12ab0 = 12060

dacă a = 1 ⇒3 + 1 + b = 9 ⇒b = 5 ⇒ 12ab0 = 12150

dacă a = 2 ⇒ 3 + 2 + b = 9 ⇒ b = 4 ⇒ 12ab0 = 12240

dacă a = 3 ⇒ 3 + 3 + b = 9 ⇒ b = 3 ⇒ 12ab0 = 12330

dacă a = 4 ⇒ 3 + 4 + b = 9 ⇒ b = 2 ⇒ 12ab0 = 12420

dacă a = 5 ⇒ 3 + 5 + b = 9 ⇒ b = 1 ⇒ 12ab0 = 12510

dacă a = 6 ⇒ 3 + 6 + b = 9 ⇒ b = 0 ⇒ 12ab0 = 12600

dacă a = 6 ⇒ 3 + 6 + b = 18 ⇒ b = 9 ⇒ 12ab0 = 12690

dacă a = 7 ⇒ 3 + 7 + b = 18 ⇒ b = 8 ⇒ 12ab0 = 12780

dacă a = 8 ⇒ 3 + 8 + b = 18 ⇒ b = 7 ⇒ 12ab0 = 12870

dacă a = 9 ⇒ 3 + 9 + b = 18 ⇒ b = 6 ⇒ 12ab0 = 12960

==================================

f) a2b8 ⋮ 9

a,b sunt cifre ⇒ a, b ∈ {0, 1, 2, 3, 4, 5, 6, 7, 8, 9}

a ≠ 0

Respectând criteriul de divizibilitate cu 9 ⇒ a + 2 + b + 8 = 10 + a + b ⇒ suma cifrelor numărului a2b8 pentru a fi divizibilă cu 9 poate fi doar 18 sau 27

Vom analiza pe cazuri și vom avea:

dacă a = 1 ⇒ 10 + 1 + b = 18 ⇒ b = 7 ⇒ a2b8 = 1278

dacă a = 2 ⇒ 10 + 2 + b = 18 ⇒ b = 6 ⇒ a2b8 = 2268

dacă a = 3 ⇒ 10 + 3 + b = 18 ⇒ b = 5 ⇒ a2b8 = 3258

dacă a = 4 ⇒ 10 + 4 + b = 18 ⇒ b = 4 ⇒ a2b8 = 4248

dacă a = 5 ⇒ 10 + 5 + b = 18 ⇒ b = 3 ⇒ a2b8 = 5238

dacă a = 6 ⇒ 10 + 6 + b = 18 ⇒ b = 2 ⇒ a2b8 = 6228

dacă a = 7 ⇒ 10 + 7 + b = 18 ⇒ b = 1 ⇒ a2b8 = 7218

dacă a = 8 ⇒ 10 + 8 + b = 18 ⇒ b = 0 ⇒ a2b8 = 8208

dacă a = 9 ⇒ 10 + 9 + b = 27 ⇒ b = 8 ⇒ a2b8 = 9288

==pav38==

Baftă multă !