Question

Găsiți o dreaptă care trece prin punctul A(2, 3, 1) și care intersectează dreptele de ecuații
d1{-x+y+z=0 x+y-z-4=0
Și
d2{x+3y+z-1=0. x-y+z+2=0

Answer 1

Răspuns:

O dreapta poate fi $d: \frac{x-2}{2} = \frac{y-3}{3}=\frac{z-1}{1}$

Explicație pas cu pas:

   Din cate stiu, la liceu nu se vorbeste despre drepte in spatiu tridimensional, asadar voi presupune ca e vorba de nivel de facultate. Deoarece dreapta d ceruta intersecteaza cele doua drepte, inseamna ca exista 2 plane, primul din intersectia dintre d si d1, iar al doilea din intersectia dintre d si d2. Totodata, deoarece punctul A apartine de d, inseamna ca punctul A apartine de ambele plane.

   Pentru a afla planele de intersectie trebuie sa stim vectorii directori ale dreptelor d1 si d2. Acestea sunt ambele date drept o intersectie de doua plane, asadar vectorul director este produsul vectorial al normalelor celor doua plane.

$d1 : \left \{ {{-x+y+z=0 => n_{1} (-1, 1, 1)} \atop {x+y-z-4=0=>n_{2}(1, 1, -1)}} \right.\\v_{1} = n_{1} X n_{2} = det(\left[\begin{array}{ccc}i&j&k\\-1&1&1\\1&1&-1\end{array}\right]) = -i + j - k - k - i - j = -2i -2k => v_{1} (-2, 0, -2)\\\\d2: \left \{ {{x+3y+z-1=0 => n_{3} (1, 3, 1)} \atop {x-y+z+2=0=>n_{4}(1,-1,1)}} \right. \\ v_{2} = n_{3} X n_{4} = det(\left[\begin{array}{ccc}i&j&k\\1&3&1\\1&-1&1\end{array}\right]) = 3i + j - k -3k + i - j = 4i - 4k => v_{2} (4, 0, -4)$

Pentru dreapta d vom avea vectorul director v(a, b, c). Normala planelor va fi:

$n_{P1} = v X v_{1} = det(\left[\begin{array}{ccc}i&j&k\\a&b&c\\-2&0&-2\end{array}\right]) = -2bi - 2cj + 2bk + 2aj = -2bi + 2(a-c)j + 2bk => n_{P1} (-2b, 2(a-c), 2b)\\\\n_{P2} = v X v_{2} = det(\left[\begin{array}{ccc}i&j&k\\a&b&c\\4&0&-4\end{array}\right]) = -4bi + 4cj - 4bk + 4aj = -4bi + 4(a+c)j - 4bk => n_{P2} (-4b, 4(a+c), -4b)$

Se pot construi cele doua plane pornind de la normale:

$P_1: -2bX + 2(a-c)Y +2bZ=0\\P_2: -4bX + 4(a+c)Y -4bZ = 0$

A(2, 3, 1) apartine de ambele plane, deci:

$\left \{ {{-4b + 6(a-c)+2b=0} \atop {-8b + 12(a+c)-4b=0}} \right.$

Rezolvand sistemul, se obtin solutii de forma $(a,b,c) = (2\lambda, 3\lambda, \lambda)$ unde $\lambda$ apartine de R. Cerinta necesita o singura dreapta, asadar putem alege, arbitrar, $\lambda = 1$:

$d: \frac{x-2}{2\lambda} = \frac{y-3}{3\lambda}=\frac{z-1}{\lambda} \\=> d: \frac{x-2}{2} = \frac{y-3}{3}=\frac{z-1}{1}$